(a) Expresse a densidade superficial de corrente como uma função de
expresse a densidade volumétrica de corrente no interior do cone como uma função de
,
© determine
como uma função de
e
na região entre o cone e o plano;
(d) determine
como uma função de
no interior do cone.
© determine
(d) determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular algumas densidades de corrente e o campo magnético
em diferentes regiões de um cone. A matéria envolvida aqui é Eletromagnetismo, especificamente sobre densidade de corrente e campos magnéticos em geometrias específicas. Para resolver, vamos precisar entender como expressar densidades de corrente superficial e volumétrica em coordenadas cilíndricas ou esféricas, além de usar as leis de Maxwell que relacionam corrente e campos magnéticos.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Expressar a densidade superficial de corrente como uma função de
.
Primeiro, a densidade superficial de corrente,
, mede a quantidade de corrente que passa por uma unidade de comprimento em uma superfície. Se temos um cone, precisamos considerar como a corrente está distribuída sobre a superfície desse cone.
Imaginando que a corrente está fluindo ao longo da superfície do cone de forma simétrica, podemos assumir que
depende apenas da distância
do eixo do cone.
Então, podemos expressar
como:
Onde:
-
é uma constante que depende das propriedades do material e da distribuição da corrente. -
é a distância radial. -
é o vetor unitário na direção angular, indicando que a corrente circula ao redor do eixo do cone.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): Expressar a densidade volumétrica de corrente no interior do cone como uma função de
.
A densidade volumétrica de corrente,
, representa a corrente por unidade de área. No interior do cone, assumimos que a corrente está distribuída de maneira uniforme ou com alguma dependência radial.
Se considerarmos uma distribuição linear da corrente, podemos escrever:
Onde:
-
é uma constante relacionada à densidade de corrente. -
é a distância radial. -
indica a direção da corrente.
Passo 4
Seguimos para a parte ©: Determinar
como uma função de
e
na região entre o cone e o plano.
Para encontrar o campo magnético
nessa região, usamos a lei de Ampère, que relaciona a densidade de corrente com o campo magnético:
Considerando simetria cilíndrica, podemos assumir que
tem apenas componente azimutal (
). Integrando a lei de Ampère, obtém-se:
Isso mostra que o campo
diminui inversamente com
e depende da direção
através da componente
.
Passo 5
Finalmente, vamos para a parte (d): Determinar
como uma função de
e
no interior do cone.
Dentro do cone, a densidade volumétrica de corrente
contribui para o campo magnético
. Usando novamente a lei de Ampère e considerando a simetria, podemos integrar a contribuição da corrente volumétrica:
Aqui, o termo
leva em conta a geometria do cone e a distribuição da corrente interna.
Resposta
(a) A densidade superficial de corrente é dada por
.
(b) A densidade volumétrica de corrente no interior do cone é
.
© O campo magnético na região entre o cone e o plano é
.
(d) O campo magnético no interior do cone é
.