(a) Expresse a densidade superficial de corrente como uma função de r ;(b) expresse a densidade volumétrica de corrente no interior do cone como uma função de r,
© determine H como uma função de r e theta na região entre o cone e o plano;
(d) determine H como uma função de r e theta no interior do cone.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular algumas densidades de corrente e o campo magnético H em diferentes regiões de um cone. A matéria envolvida aqui é Eletromagnetismo, especificamente sobre densidade de corrente e campos magnéticos em geometrias específicas. Para resolver, vamos precisar entender como expressar densidades de corrente superficial e volumétrica em coordenadas cilíndricas ou esféricas, além de usar as leis de Maxwell que relacionam corrente e campos magnéticos.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Expressar a densidade superficial de corrente como uma função de r.
Primeiro, a densidade superficial de corrente, K, mede a quantidade de corrente que passa por uma unidade de comprimento em uma superfície. Se temos um cone, precisamos considerar como a corrente está distribuída sobre a superfície desse cone.
Imaginando que a corrente está fluindo ao longo da superfície do cone de forma simétrica, podemos assumir que K depende apenas da distância r do eixo do cone.
Então, podemos expressar K(r) como:
K(r) = K0 cdot r , phi
Onde:
  • K0 é uma constante que depende das propriedades do material e da distribuição da corrente.
  • r é a distância radial.
  • phi é o vetor unitário na direção angular, indicando que a corrente circula ao redor do eixo do cone.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): Expressar a densidade volumétrica de corrente no interior do cone como uma função de r.
A densidade volumétrica de corrente, J, representa a corrente por unidade de área. No interior do cone, assumimos que a corrente está distribuída de maneira uniforme ou com alguma dependência radial.
Se considerarmos uma distribuição linear da corrente, podemos escrever:
J(r) = J0 cdot r , phi
Onde:
  • J0 é uma constante relacionada à densidade de corrente.
  • r é a distância radial.
  • phi indica a direção da corrente.

Passo 4

Seguimos para a parte ©: Determinar H como uma função de r e theta na região entre o cone e o plano.
Para encontrar o campo magnético H nessa região, usamos a lei de Ampère, que relaciona a densidade de corrente com o campo magnético:
nabla times H = J
Considerando simetria cilíndrica, podemos assumir que H tem apenas componente azimutal ( phi). Integrando a lei de Ampère, obtém-se:
H(r, theta) = K02pi r , phi
Isso mostra que o campo H diminui inversamente com r e depende da direção theta através da componente phi.

Passo 5

Finalmente, vamos para a parte (d): Determinar H como uma função de r e theta no interior do cone.
Dentro do cone, a densidade volumétrica de corrente J contribui para o campo magnético H. Usando novamente a lei de Ampère e considerando a simetria, podemos integrar a contribuição da corrente volumétrica:
H(r, theta) = J04pi r (1 - costheta) , phi
Aqui, o termo (1 - costheta) leva em conta a geometria do cone e a distribuição da corrente interna.

Resposta

(a) A densidade superficial de corrente é dada por K(r) = K0 cdot r , phi.
(b) A densidade volumétrica de corrente no interior do cone é J(r) = J0 cdot r , phi.
© O campo magnético na região entre o cone e o plano é H(r, theta) = K02pi r , phi.
(d) O campo magnético no interior do cone é H(r, theta) = J04pi r (1 - costheta) , phi.

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