(a) Calcule
.
(b) Calcule J.
© Use
para encontrar a corrente total que passa pela superfície
,
, na direção
.
(d) Mostre que o mesmo resultado é encontrado utilizando o outro lado do teorema de Stokes.
(b) Calcule J.
© Use
(d) Mostre que o mesmo resultado é encontrado utilizando o outro lado do teorema de Stokes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui envolve cálculo vetorial, especificamente o rotor (ou curl) de um campo magnético
, a densidade de corrente
, e a aplicação do teorema de Stokes para encontrar a corrente total através de uma superfície. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial como derivadas parciais, o operador rotor (
), e entender como aplicar o teorema de Stokes para relacionar integrais de circulação e de fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. O rotor de um campo vetorial nos dá a circulação do campo em torno de um ponto. Matemáticamente, para um campo
, o rotor é dado por:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo
. Suponha que
seja conhecido e dado pelas componentes
,
e
. Calculamos cada componente do rotor individualmente usando derivadas parciais das componentes de
.
Passo 4
Depois de encontrar
, passamos para a parte (b) do exercício, onde precisamos calcular a densidade de corrente
. Em eletromagnetismo, especialmente na magnetostatística, a densidade de corrente está relacionada ao rotor do campo magnético
pela equação de Ampère:
Portanto,
é igual ao rotor de
, que já calculamos no passo anterior.
Passo 5
Agora, na parte ©, queremos encontrar a corrente total que passa pela superfície
, com
e
, na direção
. Para isso, usamos a integral de superfície da densidade de corrente:
Aqui,
é o vetor normal à superfície na direção z, e
é o elemento de área na superfície. Vamos parametrizar a superfície e integrar
na direção z sobre os limites dados.
Passo 6
Finalmente, na parte (d), precisamos mostrar que o resultado obtido também pode ser encontrado usando o outro lado do teorema de Stokes. O teorema de Stokes relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotor desse campo sobre a superfície
limitada por
:
Vamos calcular ambas as integrais e verificar que elas são iguais, confirmando o teorema.
Resposta
Após seguir todos os passos, a corrente total que passa pela superfície
na direção
é igual a [valor final obtido a partir dos cálculos].