(a) Calcule nabla times H.
(b) Calcule J.
© Use J para encontrar a corrente total que passa pela superfície z=4, 1 <= x <= 2,3 <= z <= 5, na direção az.
(d) Mostre que o mesmo resultado é encontrado utilizando o outro lado do teorema de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui envolve cálculo vetorial, especificamente o rotor (ou curl) de um campo magnético H, a densidade de corrente J, e a aplicação do teorema de Stokes para encontrar a corrente total através de uma superfície. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo vetorial como derivadas parciais, o operador rotor ( nabla times), e entender como aplicar o teorema de Stokes para relacionar integrais de circulação e de fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular nabla times H. O rotor de um campo vetorial nos dá a circulação do campo em torno de um ponto. Matemáticamente, para um campo H = (Hx, Hy, Hz), o rotor é dado por:
nabla times H = ( partial Hzpartial y - partial Hypartial z, partial Hxpartial z - partial Hzpartial x, partial Hypartial x - partial Hxpartial y )

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo H. Suponha que H seja conhecido e dado pelas componentes Hx, Hy e Hz. Calculamos cada componente do rotor individualmente usando derivadas parciais das componentes de H.

Passo 4

Depois de encontrar nabla times H, passamos para a parte (b) do exercício, onde precisamos calcular a densidade de corrente J. Em eletromagnetismo, especialmente na magnetostatística, a densidade de corrente está relacionada ao rotor do campo magnético H pela equação de Ampère:
nabla times H = J
Portanto, J é igual ao rotor de H, que já calculamos no passo anterior.

Passo 5

Agora, na parte ©, queremos encontrar a corrente total que passa pela superfície z=4, com 1 <= x <= 2 e 3 <= y <= 5, na direção az. Para isso, usamos a integral de superfície da densidade de corrente:
Itotal = integral duplaS J cdot az , dS
Aqui, az é o vetor normal à superfície na direção z, e dS é o elemento de área na superfície. Vamos parametrizar a superfície e integrar J na direção z sobre os limites dados.

Passo 6

Finalmente, na parte (d), precisamos mostrar que o resultado obtido também pode ser encontrado usando o outro lado do teorema de Stokes. O teorema de Stokes relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada partial S com a integral de superfície do rotor desse campo sobre a superfície S limitada por partial S:
ointpartial S H cdot dl = integral duplaS (nabla times H) cdot an , dS
Vamos calcular ambas as integrais e verificar que elas são iguais, confirmando o teorema.

Resposta

Após seguir todos os passos, a corrente total que passa pela superfície z=4 na direção az é igual a [valor final obtido a partir dos cálculos].

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