Calcule
, onde:
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada
da equação
, onde
é uma função de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica para encontrar derivadas quando
está vinculada a
de forma indireta na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais clara:
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se de que quando derivamos termos que envolvem
, precisamos aplicar a regra da cadeia, já que
é uma função de
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo separadamente:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a usa a regra do produto: Aqui, derivamos mantendo constante e depois mantendo constante, multiplicando pelo derivado de . - Derivada de
em relação a é , aplicando a regra da cadeia.
Passo 4
Agora, juntamos todas as derivadas:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos reorganizar os termos que contêm
e os que não contêm:
Agora, para encontrar
, basta dividir ambos os lados da equação pelo coeficiente de
:
Podemos simplificar retirando o sinal negativo do numerador e denominador:
Resposta
A derivada procurada é: