Calcule d/y d/x, onde: x^2 + x y^2 + 2 y = 0, onde y = f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da equação , onde é uma função de , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica para encontrar derivadas quando está vinculada a de forma indireta na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar mais clara:
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que quando derivamos termos que envolvem , precisamos aplicar a regra da cadeia, já que é uma função de .

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a usa a regra do produto: Aqui, derivamos mantendo constante e depois mantendo constante, multiplicando pelo derivado de .
  3. Derivada de em relação a é , aplicando a regra da cadeia.

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas:
Nosso objetivo é isolar . Vamos reorganizar os termos que contêm e os que não contêm:
Agora, para encontrar , basta dividir ambos os lados da equação pelo coeficiente de :
Podemos simplificar retirando o sinal negativo do numerador e denominador:

Resposta

A derivada procurada é:

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