Seja
derivável até a
ordem. Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar uma igualdade envolvendo derivadas de uma função
. A gente vai precisar usar regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia. Nosso objetivo é derivar a expressão
em relação a
e mostrar que o resultado é igual à expressão dada no exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da expressão que precisamos derivar. Temos um produto de duas funções:
Para derivar o produto
, vamos usar a regra do produto, que diz que:
Passo 3
Vamos calcular
, a derivada de
. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Agora, derivando
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
. Isso é simplesmente a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a regra do produto que mencionamos no Passo 2:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a primeira parte da expressão:
Multiplicando os termos:
Então, a expressão fica:
Resposta
Portanto, verificamos que: