Seja y=y(r) derivável até a 2^a ordem. Verifique que
dd r((r^2+r)^2 d yd r)=2(2 r^3+3 r^2+r)(d yd r)+(r^2+r)^2 d^2 yd r^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar uma igualdade envolvendo derivadas de uma função . A gente vai precisar usar regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia. Nosso objetivo é derivar a expressão em relação a e mostrar que o resultado é igual à expressão dada no exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da expressão que precisamos derivar. Temos um produto de duas funções:
  1. dd r(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v'
Para derivar o produto , vamos usar a regra do produto, que diz que:

Passo 3

Vamos calcular u'(r) = 2 (r^2 + r) cdot dd r(r^2 + r) , a derivada de dd r(r^2 + r) = 2r + 1 . Para isso, usamos a regra da cadeia:
u'(r) = 2 (r^2 + r) cdot (2r + 1)
Agora, derivando :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular v'(r) = d^2 yd r^2 , que é a derivada de . Isso é simplesmente a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra do produto que mencionamos no Passo 2:
dd r((r^2 + r)^2 d yd r) = u' cdot v + u cdot v'
Substituindo = 2 (r^2 + r) (2r + 1) cdot d yd r + (r^2 + r)^2 cdot d^2 yd r^2 e :

Passo 6

Vamos simplificar a primeira parte da expressão:
2 (r^2 + r) (2r + 1) = 2(2r + 1)(r^2 + r)
Multiplicando os termos:
2(2r + 1)(r^2 + r) = 2(2r cdot r^2 + 2r cdot r + 1 cdot r^2 + 1 cdot r) = 2(2r^3 + 2r^2 + r^2 + r) = 2(2r^3 + 3r^2 + r)
Então, a expressão fica:
2(2r^3 + 3r^2 + r) cdot d yd r + (r^2 + r)^2 cdot d^2 yd r^2

Resposta

Portanto, verificamos que:
dd r((r^2+r)^2 d yd r)=2(2 r^3+3 r^2+r)(d yd r)+(r^2+r)^2 d^2 yd r^2

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