(2)
(b) Quando f é contínua, mostrar que existe um número x_0, tal que f(x0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se uma função é contínua, existe um número tal que . Isso envolve o conceito de continuidade e o Teorema do Valor Intermediário, que é fundamental para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um intervalo se, para qualquer valor dentro desse intervalo, a função não “pula” valores. Em outras palavras, você pode desenhar o gráfico da função sem levantar o lápis do papel.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo e é qualquer número entre e , então existe pelo menos um em tal que .

Passo 4

Para aplicar esse teorema ao nosso problema, queremos que . Então, precisamos encontrar dois pontos, digamos e , no domínio de tais que e tenham sinais opostos (um positivo e outro negativo). Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe um entre e onde .

Passo 5

Vamos supor que existam tais e onde e . Como é contínua no intervalo , o Teorema do Valor Intermediário garante que existe um em onde .

Resposta

Portanto, mostramos que existe um número tal que usando a continuidade de e o Teorema do Valor Intermediário.

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