(2)
(b) Quando
é contínua, mostrar que existe um número
, tal que
.
(b) Quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se uma função
é contínua, existe um número
tal que
. Isso envolve o conceito de continuidade e o Teorema do Valor Intermediário, que é fundamental para resolver esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função
é contínua em um intervalo se, para qualquer valor dentro desse intervalo, a função não “pula” valores. Em outras palavras, você pode desenhar o gráfico da função sem levantar o lápis do papel.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função
é contínua em um intervalo
e
é qualquer número entre
e
, então existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 4
Para aplicar esse teorema ao nosso problema, queremos que
. Então, precisamos encontrar dois pontos, digamos
e
, no domínio de
tais que
e
tenham sinais opostos (um positivo e outro negativo). Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe um
entre
e
onde
.
Passo 5
Vamos supor que existam tais
e
onde
e
. Como
é contínua no intervalo
, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe um
em
onde
.
Resposta
Portanto, mostramos que existe um número
tal que
usando a continuidade de
e o Teorema do Valor Intermediário.