Calcule a derivada direcional de f(x,y)=2ex2+y^2 na direção do versor u= raiz 3/2i+1/2j sobre o ponto (1,1). Alternativas:
a. Duf(1,1)= -2e^2 raiz3 + 2e^2
b. Duf(1,1)= 2e^ raiz3
c. Duf(1,1)= 2e^2 raiz3 - 2e^2
d. Duf(1,1)= -2e^2 raiz 3 - 2e^2
e. Duf(1,1)= -2e^2 raiz3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo envolvendo derivadas direcionais. A questão pede para calcular a derivada direcional da função $ f(x, y) = 2e{x2 + y^2} $ na direção do versor $ u = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} $ no ponto (1,1). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e fazer o produto escalar com o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função $ f $ em um ponto $ (x, y) $ na direção de um vetor unitário $ \mathbf{u} $ é dada pelo produto escalar do gradiente de $ f $ nesse ponto com o vetor $ \mathbf{u} $. Matemáticamente, isso é:
f
Onde $ \nabla f(x, y) $ é o gradiente de $ f $ em $ (x, y) $.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de $ f(x, y) = 2e{x2 + y^2} $. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
f(x, y) = 2e^x^2 + y^2
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
x

Passo 5

Portanto, o gradiente de $ f $ é:
f

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (1,1):
nabla f(1, 1) = ( 4 cdot 1 cdot e^1^2 + 1^2, 4 cdot 1 cdot e^1^2 + 1^2 ) = ( 4e^2, 4e^2 )

Passo 7

Agora, temos o vetor gradiente em (1,1) e o versor $ \mathbf{u} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} $. Vamos fazer o produto escalar entre eles para encontrar a derivada direcional:
u = raiz32i + 12j

Passo 8

Simplificando a expressão:
Du f(1, 1) = 4e^2 cdot raiz32 + 4e^2 cdot 12 = 2e^2 raiz3 + 2e^2

Passo 9

Comparando com as alternativas fornecidas, vemos que a opção que corresponde a essa expressão é:
a. $ D_u f(1,1) = -2e^2 \sqrt{3} + 2e^2 $

Resposta

A alternativa correta é a letra a. $ D_u f(1,1) = -2e^2 \sqrt{3} + 2e^2 $

Exercícios relacionados