Calcule a derivada da função f(x)=x²/2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{x²}{2} - 4 $. A matéria que estamos trabalhando aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar as regras básicas de derivação em funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função naquele ponto. Basicamente, ela nos diz quão rápido a função está mudando.

Passo 3

A função que temos é $ f(x) = \frac{x²}{2} - 4 $. Podemos reescrever isso de uma forma mais fácil para derivar:
f(x) = x²2 - 4 ²

Passo 4

Agora, vamos derivar cada termo da função separadamente. A regra básica para derivar $ x^n $ é multiplicar o coeficiente por $ n $ e reduzir o expoente em 1. Isso é conhecido como a Regra do Poder.

Passo 5

Aplicando a Regra do Poder ao primeiro termo $ \frac{1}{2}x² $:
  • Multiplicamos o coeficiente $ \frac{1}{2} $ por 2 (o expoente de $ x $):
12x²
  • Reduzimos o expoente em 1:
12
Então, a derivada de $ \frac{1}{2}x² $ é:
x ou simplesmente 12 times 2 = 1

Passo 6

Agora, vamos derivar o segundo termo da função, que é $ -4 $. A derivada de uma constante (número fixo) é sempre zero, porque constantes não mudam, então não há inclinação.

Passo 7

Juntando as derivadas de cada termo, temos:
f'(x) = x - 0
Simplificando isso, fica apenas:
f'(x) = x

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \frac{x²}{2} - 4 $ é:
f(x) = x²2 - 4

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