Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto e direção indicados.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos a função e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como encontrar o gradiente da função e como usar essas informações para calcular a derivada na direção desejada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 4
A derivada direcional na direção do vetor é calculada pelo produto escalar do gradiente com um vetor unitário na direção de . Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário na direção de :
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .