Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto P0 e direção w indicados. f(x, y, z) = x * y * z, P0 = (1, 1, 3), w = (1, 1, 1)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos a função e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como encontrar o gradiente da função e como usar essas informações para calcular a derivada na direção desejada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de variação da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A derivada direcional na direção do vetor é calculada pelo produto escalar do gradiente com um vetor unitário na direção de . Primeiro, vamos encontrar o vetor unitário na direção de :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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