Calcule os limites a seguir:
(g)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite: . Isso significa que queremos saber para que valor a expressão se aproxima quando chega perto de 2 vindo por valores menores que 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com quando se aproxima de 2 pelo lado esquerdo. Sabemos que é uma função exponencial crescente, ou seja, quanto maior o , maior o valor de .

Passo 3

Como estamos aproximando de 2 pelo lado esquerdo ( ), consideramos valores como 1.9, 1.99, 1.999, etc. Vamos calcular para esses valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
À medida que se aproxima de 2, se aproxima de .

Passo 4

Agora, substituímos por seu valor limite na expressão original:

Passo 5

A expressão sugere que estamos lidando com uma divisão por zero. Mas precisamos entender o comportamento da função. Como está se aproximando de 4 pelo lado esquerdo (ou seja, valores ligeiramente menores que 4), está se aproximando de 0 positivo. Portanto, está se aproximando de .

Resposta

Exercícios relacionados

Considere a função . Calcule as derivadas parciais e , no caso em que e .
Calcule os limites a seguir:
§
Calcule os limites a seguir:
(i)
Calcule a derivada direcional da função , no ponto , na direção indicada.
(b) na direção da reta .