Calcule a derivada direcional máxima da função z = raiz(x^2 - y^2) no ponto (5,4) e a direção em que ela acontece.

Passo 1

Beleza, temos o exercício de calcular a derivada direcional máxima da função no ponto e descobrir em qual direção isso acontece. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas direcionais e ao uso do gradiente em cálculo multivariável. Vamos precisar entender como o gradiente da função nos dá a direção de máxima variação e como calcular essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

A derivada direcional máxima é igual ao comprimento (norma) do gradiente. Vamos calcular isso:

Passo 6

A direção em que a derivada direcional máxima ocorre é a direção do gradiente. Para expressar isso como um vetor unitário, normalizamos o gradiente:
çã

Resposta

A derivada direcional máxima da função no ponto é e ocorre na direção do vetor .

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