Calcule a derivada direcional máxima da função
no ponto
e a direção em que ela acontece.
Passo 1
Beleza, temos o exercício de calcular a derivada direcional máxima da função
no ponto
e descobrir em qual direção isso acontece. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas direcionais e ao uso do gradiente em cálculo multivariável. Vamos precisar entender como o gradiente da função nos dá a direção de máxima variação e como calcular essa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
A derivada direcional máxima é igual ao comprimento (norma) do gradiente. Vamos calcular isso:
Passo 6
A direção em que a derivada direcional máxima ocorre é a direção do gradiente. Para expressar isso como um vetor unitário, normalizamos o gradiente:
Resposta
A derivada direcional máxima da função
no ponto
é
e ocorre na direção do vetor
.