Calcule a derivada direcional máxima da função no ponto e a direção em que ela acontece.
Passo 1
Beleza, temos o exercício de calcular a derivada direcional máxima da função no ponto e descobrir em qual direção isso acontece. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas direcionais e ao uso do gradiente em cálculo multivariável. Vamos precisar entender como o gradiente da função nos dá a direção de máxima variação e como calcular essa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e .
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Passo 5
A derivada direcional máxima é igual ao comprimento (norma) do gradiente. Vamos calcular isso:
Passo 6
A direção em que a derivada direcional máxima ocorre é a direção do gradiente. Para expressar isso como um vetor unitário, normalizamos o gradiente:
Resposta
A derivada direcional máxima da função no ponto é e ocorre na direção do vetor .