Determine a velocidade angular do vetor posição OP, sendo O(0,0) e P(x, y), com x = 1 - 2 t^2 e y = 4 + t^2, no instante t = 1 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a velocidade angular do vetor posição . Temos o ponto e , onde e . Para isso, vamos precisar entender o que é velocidade angular e como calculá-la a partir das coordenadas de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular ( ) é a taxa de variação do ângulo ( ) que o vetor faz com o eixo x. Matematicamente, isso é representado por .

Passo 3

Para encontrar , usamos a relação trigonométrica:
Então, nossa primeira tarefa é encontrar a derivada de em relação ao tempo .

Passo 4

Vamos derivar em relação ao tempo usando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Vamos calcular e .

Passo 6

Derivando :
Derivando :

Passo 7

Substituindo as derivadas na expressão de :
Simplificando:

Passo 8

Voltando à expressão de :
Vamos calcular e substituir segundo.

Passo 9

Calculando em :
Então:

Passo 10

Substituindo na expressão de :

Resposta

A velocidade angular do vetor posição no instante é .

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