Determine a velocidade angular do vetor posição , sendo e , com e , no instante .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a velocidade angular do vetor posição . Temos o ponto e , onde e . Para isso, vamos precisar entender o que é velocidade angular e como calculá-la a partir das coordenadas de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular ( ) é a taxa de variação do ângulo ( ) que o vetor faz com o eixo x. Matematicamente, isso é representado por .

Passo 3

Para encontrar , usamos a relação trigonométrica:
Então, nossa primeira tarefa é encontrar a derivada de em relação ao tempo .

Passo 4

Vamos derivar em relação ao tempo usando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Vamos calcular e .

Passo 6

Derivando :
Derivando :

Passo 7

Substituindo as derivadas na expressão de :
Simplificando:

Passo 8

Voltando à expressão de :
Vamos calcular e substituir segundo.

Passo 9

Calculando em :
Então:

Passo 10

Substituindo na expressão de :

Resposta

A velocidade angular do vetor posição no instante é .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada da função , no ponto , na direção cujos parâmetros diretores são e 2 .
Calcule a derivada direcional máxima da função no ponto e a direção em que ela acontece.
Determine a velocidade de variação do volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo-se que as arestas da base crescem à razão de cada uma e a aresta vertical decresce à razão de , no instante , em que as arestas da base mediram 30 cm e 20 cm e a vertical 60 cm .
Dada a função , Pesquise quanto ao máximo e mínimo, cada função: