Determine a velocidade angular do vetor posição , sendo e , com e , no instante .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a velocidade angular do vetor posição . Temos o ponto e , onde e . Para isso, vamos precisar entender o que é velocidade angular e como calculá-la a partir das coordenadas de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular () é a taxa de variação do ângulo () que o vetor faz com o eixo x. Matematicamente, isso é representado por .
Passo 3
Para encontrar , usamos a relação trigonométrica:
Então, nossa primeira tarefa é encontrar a derivada de em relação ao tempo .
Passo 4
Vamos derivar em relação ao tempo usando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Vamos calcular e .
Passo 6
Derivando :
Derivando :
Passo 7
Substituindo as derivadas na expressão de :
Simplificando:
Passo 8
Voltando à expressão de :
Vamos calcular e substituir segundo.
Passo 9
Calculando em :
Então:
Passo 10
Substituindo na expressão de :
Resposta
A velocidade angular do vetor posição no instante é .