Calcule a derivada da função , no ponto , na direção cujos parâmetros diretores são e 2 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! O enunciado pede pra gente calcular a derivada direcional da função no ponto . Isso envolve conceitos de derivadas parciais e vetores direcionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Assim, o gradiente de é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção dado pelos parâmetros diretores . Para normalizar, dividimos cada componente pelo comprimento do vetor:
Então, o vetor unitário na direção dada é:
Passo 6
Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção especificada é .