Calcule a derivada da função w = x*y + y*z + z*x, no ponto 1, -2, 1, na direção cujos parâmetros diretores são 4, -4 e 2 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! O enunciado pede pra gente calcular a derivada direcional da função no ponto . Isso envolve conceitos de derivadas parciais e vetores direcionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Assim, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção dado pelos parâmetros diretores . Para normalizar, dividimos cada componente pelo comprimento do vetor:
Então, o vetor unitário na direção dada é:

Passo 6

Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção especificada é .

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