Calcule a derivada direcional no ponto da função , na direção tangente à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada direcional no ponto da função . A direção que vamos usar é a tangente à curva definida pelas equações:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente de uma função e como encontrar vetores tangentes a curvas definidas por interseção de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é calculado a partir das derivadas parciais.
Então, temos:
No ponto , substituindo os valores:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção tangente à curva no ponto . A curva é dada pela interseção das duas superfícies:
Para encontrar a direção tangente, vamos calcular o produto vetorial dos gradientes dessas duas funções no ponto . Isso porque o produto vetorial de dois vetores normais às superfícies dará um vetor tangente à curva de interseção.
Primeiro, encontramos os gradientes das duas equações:
Para a equação (1):
No ponto :
Para a equação (2):
No ponto :

Passo 4

Agora, calculamos o produto vetorial desses dois gradientes para encontrar a direção tangente:
Calculando o determinante:

Passo 5

Vamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário na direção tangente:
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:
Mas na verdade, para simplificar, podemos dividir cada componente por 20:
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional no ponto da função na direção tangente à curva é 0.

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(b)
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Admitindo as operações possíveis e considerando constante, prove as seguintes regras de derivação para o operador Gradiente:
(b) Produto: