Calcule a derivada direcional no ponto da função , na direção tangente à curva no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada direcional no ponto da função . A direção que vamos usar é a tangente à curva definida pelas equações:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente de uma função e como encontrar vetores tangentes a curvas definidas por interseção de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é calculado a partir das derivadas parciais.
Então, temos:
No ponto , substituindo os valores:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a direção tangente à curva no ponto . A curva é dada pela interseção das duas superfícies:
Para encontrar a direção tangente, vamos calcular o produto vetorial dos gradientes dessas duas funções no ponto . Isso porque o produto vetorial de dois vetores normais às superfícies dará um vetor tangente à curva de interseção.
Primeiro, encontramos os gradientes das duas equações:
Para a equação (1):
No ponto :
Para a equação (2):
No ponto :
Passo 4
Agora, calculamos o produto vetorial desses dois gradientes para encontrar a direção tangente:
Calculando o determinante:
Passo 5
Vamos normalizar esse vetor para obter um vetor unitário na direção tangente:
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:
Mas na verdade, para simplificar, podemos dividir cada componente por 20:
Então, o vetor unitário é:
Passo 6
Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário :
Resposta
A derivada direcional no ponto da função na direção tangente à curva é 0.