Admitindo as operações possíveis e considerando constante, prove as seguintes regras de derivação para o operador Gradiente:
(b) Produto:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que provar uma regra de derivação para o operador Gradiente. A questão nos pede para mostrar que, se tivermos duas funções e , o gradiente do produto dessas funções é igual a vezes o gradiente de mais vezes o gradiente de . Para isso, vamos precisar entender o que é o operador gradiente e como aplicar a regra do produto na derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. Por exemplo, se depende de e , então:

Passo 3

Agora, queremos calcular o gradiente do produto . Vamos aplicar o operador gradiente nessa expressão:
Para encontrar essas derivadas parciais, vamos usar a regra do produto para derivadas, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.

Passo 4

Aplicando a regra do produto nas derivadas parciais, temos:
Isso significa que cada componente do gradiente do produto é igual a vezes a derivada de mais vezes a derivada de .

Passo 5

Juntando as componentes, temos que:
Isso pode ser reescrito de forma vetorial como:
Então, mostramos que o gradiente do produto de duas funções é igual a vezes o gradiente de mais vezes o gradiente de .

Resposta

Portanto, provamos que:

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Calcule os limites a seguir:
©
Calcule a derivada direcional no ponto da função , na direção tangente à curva no ponto .
Calcule os limites a seguir:
(o)
Calcule os limites a seguir:
(u)