Admitindo as operações possíveis e considerando
constante, prove as seguintes regras de derivação para o operador Gradiente:
(b) Produto:
(b) Produto:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que provar uma regra de derivação para o operador Gradiente. A questão nos pede para mostrar que, se tivermos duas funções
e
, o gradiente do produto dessas funções é igual a
vezes o gradiente de
mais
vezes o gradiente de
. Para isso, vamos precisar entender o que é o operador gradiente e como aplicar a regra do produto na derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis. Por exemplo, se
depende de
e
, então:
Passo 3
Agora, queremos calcular o gradiente do produto
. Vamos aplicar o operador gradiente nessa expressão:
Para encontrar essas derivadas parciais, vamos usar a regra do produto para derivadas, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Passo 4
Aplicando a regra do produto nas derivadas parciais, temos:
Isso significa que cada componente do gradiente do produto
é igual a
vezes a derivada de
mais
vezes a derivada de
.
Passo 5
Juntando as componentes, temos que:
Isso pode ser reescrito de forma vetorial como:
Então, mostramos que o gradiente do produto de duas funções é igual a
vezes o gradiente de
mais
vezes o gradiente de
.
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir:
©
©
Calcule a derivada direcional no ponto
da função
, na direção tangente à curva
no ponto
.
Calcule os limites a seguir:
(o)
(o)
Calcule os limites a seguir:
(u)
(u)