Calcule a derivada: f(x) = 1 / (1 + x + x^2 + x^3)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Isso está relacionado ao estudo de derivadas em cálculo, especificamente lidando com funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação usando a regra da cadeia. Podemos expressar como .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta , então sua derivada é . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de é .
  2. Derivada de é .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:

Resposta

A derivada de é:

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Calcule a derivada: f(w) = 2w / (w^3 - 7)
Calcule a derivada: h(z) = (8 - z + 3*z^2) / (2 - 9*z)
Calcule a derivada: p(x) = 1 + 1/x + 1/x^2 + 1/x^3
7^a Questão: Se a água de uma piscina está sendo escoada e V litros é o volume de água na piscina em t minutos após o escoamento ter começado, onde V = 250(40 - t)^2, encontre:
(a) a taxa de variaçaõ média a que a água escoa da piscina durante os primeiros 5 minutos;
(b) com que velocidade a água flui da piscina. 5 minutos após o escoamento ter começado.