7^a Questão: Se a água de uma piscina está sendo escoada e V litros é o volume de água na piscina em t minutos após o escoamento ter começado, onde V = 250(40 - t)^2, encontre:
(a) a taxa de variaçaõ média a que a água escoa da piscina durante os primeiros 5 minutos;
(b) com que velocidade a água flui da piscina. 5 minutos após o escoamento ter começado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o volume de água que está saindo de uma piscina ao longo do tempo. A gente tem a fórmula , onde é o volume de água em litros e é o tempo em minutos desde que o escoamento começou. A gente vai usar conceitos de taxa de variação média e derivada para resolver as partes (a) e (b) da questão.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar a taxa de variação média da água que está sendo escoada durante os primeiros 5 minutos.
A taxa de variação média é basicamente a mudança no volume dividida pela mudança no tempo. A fórmula é:
çãé
Aqui, minutos e minutos.

Passo 3

Vamos calcular e .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, aplicando na fórmula da taxa de variação média:
çãé
O sinal negativo indica que a água está sendo escoada, ou seja, está diminuindo.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a velocidade com que a água está fluindo 5 minutos após o escoamento ter começado. Isso quer dizer que precisamos achar a taxa de variação instantânea, que é a derivada de em relação a .
A função que temos é:

Passo 6

Vamos calcular a derivada de :

Passo 7

Agora, substituímos na derivada para encontrar a velocidade naquele momento:
Mais uma vez, o sinal negativo indica que a água está saindo da piscina.

Resposta

(a) A taxa de variação média é de −18.750 litros por minuto durante os primeiros 5 minutos.
(b) A velocidade com que a água flui da piscina 5 minutos após o início do escoamento é de −17.500 litros por minuto.

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