Calcule a derivada de
identificando o domínio em que o resultado é válido. Escolha um ponto deste domínio e calcule o valor da derivada
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
, identificar o domínio onde essa derivada é válida e, em seguida, escolher um ponto nesse domínio para calcular o valor da derivada. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
. Como
é uma fração onde o numerador e o denominador são funções de
, vamos aplicar a regra do quociente. Essa regra é usada para derivar funções que são divisões de duas outras funções.
Passo 3
A regra do quociente diz que se temos uma função
, então a derivada de
é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
Passo 5
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Simplificando mais:
Sabendo que
:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Portanto, a derivada fica:
Passo 8
Agora, vamos identificar o domínio onde essa derivada é válida. A derivada de
existe para todos os valores de
onde o denominador
não é zero. Então, o domínio é:
Passo 9
Vamos escolher um ponto nesse domínio para calcular o valor da derivada. Vamos escolher
, pois é um número simples e está no domínio, já que
.
Passo 10
Substituindo
na expressão da derivada:
Simplificando:
Calculando
:
Então:
Resposta
Portanto, a derivada de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Escreva:
d) como potência de 3.
d)
Identifique se
é analítica em algum domínio do plano
. Se for o caso, identifique esse domínio.
Calcule todos os valores de
que satisfazem a expressão
Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
. e
quando submetido a
.
Assuma
Assuma