Identifique se
é analítica em algum domínio do plano
. Se for o caso, identifique esse domínio.
Passo 1
O exercício pede para verificar se a função
é analítica em algum domínio do plano complexo. Isso envolve entender o que significa uma função ser analítica e quais condições ela precisa satisfazer. Vamos precisar usar as condições de Cauchy-Riemann para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos das partes real e imaginária. Para isso, representamos
como
, onde
e
são números reais, e
é o conjugado de
.
Substituindo na função:
Assim, temos:
Passo 3
Agora, para que
seja analítica em um domínio, as funções
e
precisam satisfazer as condições de Cauchy-Riemann:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos verificar as condições de Cauchy-Riemann:
-
e : Não são iguais. -
e : São iguais, mas ambas as condições precisam ser satisfeitas simultaneamente.
Como a primeira condição não é satisfeita, a função
não atende às condições de Cauchy-Riemann em nenhum ponto do plano complexo.
Resposta
A função
não é analítica em nenhum domínio do plano
.
Exercícios relacionados
Considere
. Encontre:
Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
. e
quando submetido a
.
Assuma
Assuma
Escreva:
d) como potência de 3.
d)
Calcule a derivada de
identificando o domínio em que o resultado é válido. Escolha um ponto deste domínio e calcule o valor da derivada