Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
g(s) = (e^s + s + 1)(2 e^{-s} + s)

Passo 1

Beleza, temos que calcular a derivada da função . Isso entra no conteúdo de cálculo diferencial, especificamente na regra do produto, que vamos precisar usar para resolver essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função. Vamos chamar:

Passo 3

Agora, para usar a regra do produto, precisamos encontrar as derivadas dessas duas partes separadamente. Vamos começar com .
A derivada de em relação a é:
Sabemos que:
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar :
A derivada de em relação a é:
Sabemos que:
Então:

Passo 5

Agora que temos , , e , podemos aplicar a regra do produto, que diz:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos multiplicar cada termo:
Para :
Então:
Para :
Então:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes:
Vamos simplificar somando os termos semelhantes:
  • Constantes:
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :
Então:

Resposta

A derivada simplificada da função é:

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