Calcule:
lim x 0 cos (xsen x-2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui vamos lidar com limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta perto de zero e usar algumas aproximações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador . Sabemos que quando sen x approx x - dfracx^36 está próximo de zero, podemos aproximar usando a série de Taylor:
Então, substituindo na expressão:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a fração dentro do cosseno:
Quando dfracxsen x - 2x approx dfracx-x - dfracx^36 = dfracx-x(1 + dfracx^26) = dfrac1-1 - dfracx^26 = -dfrac11 + dfracx^26 tende a zero, -dfrac11 + 0 = -1 também tende a zero, então:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação no cosseno:
Sabemos que o cosseno é uma função par, então cos(dfracxsen x - 2x) approx cos(-1) .

Passo 5

Finalmente, calculamos o valor numérico de cos(1) approx 0,5403 (em radianos):

Resposta

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