Calcule os limites abaixo: $(a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(8 x)}{e^{2 x}-1}$

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está ligado ao conteúdo de cálculo de limites, e vamos precisar aplicar a regra de L’Hôpital para resolver, já que o limite tem uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando se aproxima de 0. Substituindo:
Então, o limite fica na forma , que é indeterminada. Quando encontramos , a regra de L’Hôpital é uma boa ferramenta para resolver.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se o limite resulta em ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Ou seja:
Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada de é
  • Derivada de é

Passo 4

Agora substituímos as derivadas no limite:

Resposta

O limite é 4.

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<html><head></head><body><div>Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.<br>
<span class="math-inline ">
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http://www.w3.org/2000/svg” width=“33.565ex” height=“2.32ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -775.2 14836 1025.2”><title>g(s) = (e^s + s + 1)(2 e^{-s} + s)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(389,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 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<html><head></head><body><div>Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.<br>
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<html><head></head><body><div>Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.<br>
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