Calcule os limites abaixo:
(a) lim x 0 sen(8 x)e^2 x-1

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está ligado ao conteúdo de cálculo de limites, e vamos precisar aplicar a regra de L’Hôpital para resolver, já que o limite tem uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando sen(8 cdot 0) = sen(0) = 0 se aproxima de 0. Substituindo:
e^2 cdot 0 - 1 = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0
Então, o limite fica na forma , que é indeterminada. Quando encontramos , a regra de L’Hôpital é uma boa ferramenta para resolver.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se o limite lim x 0 sen(8x)e^2x-1 = lim x 0 ddx[sen(8x)]ddx[e^2x-1] resulta em ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Ou seja:
Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada de é
  • Derivada de é

Passo 4

Agora substituímos as derivadas no limite:
lim x 0 8 cos(8x)2 e^2x = lim x 0 8 cos(8x)2 e^2x = 8 cos(0)2 e^0 = 8 cdot 12 cdot 1 = 82 = 4

Resposta

O limite é 4.

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