Calcule a derivada da função f(x)=(√x -1)²
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função $ f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2 $. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente à derivação de funções. Para resolver, vamos precisar entender como derivar expressões com potências e radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Vamos expandir o quadrado da expressão $ (\sqrt{x} - 1)^2 $. Lembra como expandir o quadrado de um binômio? Usamos a fórmula $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.
Passo 3
Aplicando a fórmula:
Simplificando cada termo:
- $ (\sqrt{x})^2 = x $
- $ 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 1 = 2\sqrt{x} $
- $ 1^2 = 1 $
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar cada termo da função separadamente. Lembre-se de que a derivada de uma soma ou subtração é a soma ou subtração das derivadas.
-
Derivada de $ x $:
-
Derivada de $ -2\sqrt{x} $:
Primeiro, escrevemos $ \sqrt{x} $ como $ x^{1/2} $ para facilitar: -
Derivada de $ 1 $:
Passo 5
Agora, juntando todas as derivadas:
Simplificando:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2 $ é: