Calcule a derivada da função f(x)=(√x -1)²

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função $ f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2 $. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente à derivação de funções. Para resolver, vamos precisar entender como derivar expressões com potências e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Vamos expandir o quadrado da expressão $ (\sqrt{x} - 1)^2 $. Lembra como expandir o quadrado de um binômio? Usamos a fórmula $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

Passo 3

Aplicando a fórmula:
(raizx - 1)^2 = (raizx)^2 - 2 cdot raizx cdot 1 + 1^2
Simplificando cada termo:
  • $ (\sqrt{x})^2 = x $
  • $ 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 1 = 2\sqrt{x} $
  • $ 1^2 = 1 $
Então, a função fica:
(raizx)^2 = x

Passo 4

Agora, vamos derivar cada termo da função separadamente. Lembre-se de que a derivada de uma soma ou subtração é a soma ou subtração das derivadas.
  1. Derivada de $ x $:
    x
  2. Derivada de $ -2\sqrt{x} $:
    Primeiro, escrevemos $ \sqrt{x} $ como $ x^{1/2} $ para facilitar:
    ddx(x) = 1
  3. Derivada de $ 1 $:
    -2raizx

Passo 5

Agora, juntando todas as derivadas:
f'(x) = 1 - 1raizx + 0
Simplificando:
f'(x) = 1 - 1raizx

Resposta

A derivada da função $ f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2 $ é:
f(x) = (raizx - 1)^2

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