Foi feito um estudo sobre a altura dos alunos de uma escola observando se que ela distribuía normalmente com média de 1,72m e desvio padrão de 5 cm. Qual a porcentagem de alunos com altura:
A) menor que 1,60m
B) acima de 1,88 m
A) menor que 1,60m
B) acima de 1,88 m
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um estudo que mostra que a altura dos alunos de uma escola segue uma distribuição normal, com média de 1,72 metros e desvio padrão de 5 centímetros. Precisamos descobrir:
A) Qual a porcentagem de alunos que tem menos que 1,60 metros de altura.
B) Qual a porcentagem de alunos que tem mais que 1,88 metros de altura.
B) Qual a porcentagem de alunos que tem mais que 1,88 metros de altura.
Para resolver isso, vamos usar a distribuição normal e os conceitos de Z-score, que ajuda a encontrar essas porcentagens.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição normal. É uma curva em forma de sino que mostra como os dados estão distribuídos ao redor da média. A média é o centro da curva, e o desvio padrão indica o quanto os valores se espalham em relação à média.
Passo 3
Para achar a porcentagem de alunos abaixo de 1,60 metros, precisamos calcular o Z-score desse valor. O Z-score nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média.
A fórmula do Z-score é:
Onde:
- $ X $ é o valor que queremos avaliar (1,60m),
- $ \mu $ é a média (1,72m),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (0,05m).
Passo 4
Vamos calcular o Z-score para 1,60m:
Passo 5
Agora, usamos uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente a Z = -2,4. Essa probabilidade representa a porcentagem de alunos com altura menor que 1,60m.
Passo 6
Consultando a tabela, encontramos que a área à esquerda de Z = -2,4 é aproximadamente 0,0082, ou 0,82%. Então, cerca de 0,82% dos alunos têm menos que 1,60 metros de altura.
Passo 7
Para a parte B, queremos a porcentagem de alunos com altura acima de 1,88m. Novamente, calculamos o Z-score para 1,88m:
Passo 8
Usamos a tabela novamente para encontrar a probabilidade correspondente a Z = 3,2. A área à esquerda de Z = 3,2 é aproximadamente 0,9993. Como queremos a área à direita, subtraímos de 1:
Passo 9
Portanto, cerca de 0,07% dos alunos têm mais que 1,88 metros de altura.
Resposta
A) Aproximadamente 0,82% dos alunos têm menos que 1,60 metros de altura.
B) Aproximadamente 0,07% dos alunos têm mais que 1,88 metros de altura.