Calcule a derivada da função vetorial f(t) = 5ti + 3j + cos(t)k:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função vetorial $ \mathbf{f}(t) = 5t\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + \cos(t)\mathbf{k} $. Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente das derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos derivar cada componente da função em relação a $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para cada componente da função separadamente. A função vetorial está composta por três partes: $ 5t\mathbf{i} $, $ 3\mathbf{j} $ e $ \cos(t)\mathbf{k} $. Cada uma dessas partes será derivada individualmente em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente: $ 5t\mathbf{i} $. A derivada de $ 5t $ em relação a $ t $ é simplesmente 5. Então, a derivada dessa parte fica:
Passo 4
Agora, a segunda componente: $ 3\mathbf{j} $. Como 3 é uma constante e não depende de $ t $, a derivada dela em relação a $ t $ é 0. Assim:
Isso significa que essa parte não contribui para a derivada final.
Passo 5
Por último, a terceira componente: $ \cos(t)\mathbf{k} $. A derivada de $ \cos(t) $ em relação a $ t $ é $ -\sin(t) $. Então, a derivada dessa parte fica:
Resposta
Juntando todas as derivadas das componentes, a derivada da função vetorial $ \mathbf{f}(t) $ é: