Sejam A=(1, 2) e B=(3, 2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido anti-horário, em torno do ponto A. As coordenadas do ponto C são:

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos dois pontos no plano cartesiano, $ A = (1,, 2) $ e $ B = (3,, 2) $. Queremos encontrar as coordenadas do ponto $ C $, que é obtido a partir do segmento $ AB $ por uma rotação de $ 60^\circ $ no sentido anti-horário em torno do ponto $ A $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a rotação de pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor AB. Para isso, subtraímos as coordenadas de $ A $ das coordenadas de $ B $:
A

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula de rotação de um vetor por um ângulo theta (neste caso, 60^circ) no sentido anti-horário. A fórmula para rotacionar um vetor (x, y) é:
AC = ( x cdot cos theta - y cdot sin theta, x cdot sin theta + y cdot cos theta )
Substituindo $ x = 2 $, $ y = 0 $ e $ \theta = 60^\circ $:
x = 2
Sabemos que $ \cos 60^\circ = 0,5 $ e $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
y = 0

Passo 4

Finalmente, para encontrar as coordenadas do ponto $ C $, somamos o vetor C às coordenadas do ponto $ A $:
AC

Resposta

As coordenadas do ponto $ C $ são $ (2,\ 2 + \sqrt{3}) $.

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