A distancia entre os pontos P (2; -2) e Q(-1; y) e de 5 unidades. Qual e o valor de Y?
a) 4
B) 3
C) 2
D) 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o valor de $ y $ tal que a distância entre os pontos $ P(2, -2) $ e $ Q(-1, y) $ seja de 5 unidades. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no plano. Para resolver, vamos precisar aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distância entre dois pontos $ P(x_1, y_1) $ e $ Q(x_2, y_2) $:
P(x1, y1)
Onde $ d $ é a distância entre os pontos.

Passo 3

Agora, vamos identificar as coordenadas dos pontos dados:
  • P $ (2, -2) $ significa que $ x_1 = 2 $ e $ y_1 = -2 $.
  • Q $ (-1, y) $ significa que $ x_2 = -1 $ e $ y_2 = y $.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da distância:
5 = raiz(-1 - 2)^2 + (y - (-2))^2
Simplificando dentro da raiz:
5 = raiz(-3)^2 + (y + 2)^2
5 = raiz9 + (y + 2)^2

Passo 5

Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
5^2 = 9 + (y + 2)^2
25 = 9 + (y + 2)^2

Passo 6

Agora, isolamos $ (y + 2)^2 $:
(y + 2)^2
25 - 9 = (y + 2)^2

Passo 7

Para encontrar $ y $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
y
raiz16 = y + 2

Passo 8

Resolvendo para $ y $ em cada caso:
y
4 = y + 2 Rightarrow y = 2

Passo 9

Analisando as opções fornecidas:
a) 4
B) 3
C) 2
D) 1
O valor que encontramos que está entre as opções é $ y = 2 $.

Resposta

A opção correta é C) 2.

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