Calcule a derivada das funções dadas. (Todas as derivadas devem estar em função da variável x) f(x) = x^(e^x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a derivada da função em relação a . Pra isso, vamos precisar usar regras de derivação de funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, pra facilitar a diferenciação, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso ajuda porque transforma a potência em um produto, o que é mais fácil de derivar. Então:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados em relação a . No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de é . No lado direito, usamos a regra do produto, já que temos multiplicando :

Passo 5

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é

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