Calcule integrala^b F(t) dt para: F(t)=(sen(3 t), 11+t^2, 1), a=-1, b=1

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral da função vetorial no intervalo de até . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais de funções vetoriais, onde integramos cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma função vetorial como tem várias funções componentes. Para calcular a integral dessa função vetorial, a gente integra cada componente individualmente no intervalo dado.

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira componente . A integral de é conhecida, mas precisamos usar uma regra de substituição simples para ajustar o fator 3 dentro da função trigonométrica.

Passo 4

A integral de integral sin(3t) , dt = -13 cos(3t) + C em relação a [ -13 cos(3t) ]-1^1 = -13 cos(3 times 1) + 13 cos(3 times (-1)) é:
= -13 cos(3) + 13 cos(-3)
onde = -13 cos(3) + 13 cos(3) = 0 é a constante de integração. Agora, aplicamos os limites de -1 a 1:
Simplificando:
Como , temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar a segunda componente integral 11+t^2 , dt = arctan(t) + C . A integral de [ arctan(t) ]-1^1 = arctan(1) - arctan(-1) é uma função conhecida:
= pi4 - (-pi4) = pi2
Aplicando os limites de -1 a 1:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Por último, vamos integrar a terceira componente integral 1 , dt = t + C . A integral de 1 em relação a [ t ]-1^1 = 1 - (-1) = 2 é simplesmente .
Aplicando os limites de -1 a 1:

Resposta

A integral de integral-1^1 F(t) , dt = (0, pi2, 2) de até é:

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