a) sumn=1^infty(-1)^n 2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sominha infinita: sumn=1^infty (-1)^n 2^nn!. O conteúdo que vamos usar é sobre séries infinitas e a função exponencial. Vamos precisar entender como as séries se comportam e como a função e^x pode nos ajudar a resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fica a série da função exponencial. Sabemos que:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Ou seja, somando de n=0 até o infinito, temos e^x.

Passo 3

Agora, na nossa série tem um (-1)^n, o que sugere que estamos lidando com uma série alternada. Podemos ajustar nossa expressão para incorporar esse sinal negativo:
sumn=0^infty (-x)^nn! = e^-x
Então, se colocarmos x=2, temos:
sumn=0^infty (-2)^nn! = e^-2

Passo 4

Mas atenção! Nosso exercício começa a soma de n=1, não de n=0. Então, para ajustar isso, precisamos subtrair o termo que corresponde a n=0:
sumn=1^infty (-2)^nn! = e^-2 - (-2)^00!
Sabemos que (-2)^00! = 1, então:
sumn=1^infty (-2)^nn! = e^-2 - 1

Resposta

A soma da série é e^-2 - 1.

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