Calcule a derivada das funções: f(x) = ln((4 x + 1) / (3 + 3 x^2))

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de derivadas, especificamente usando as regras de derivação de funções logarítmicas e quocientes. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da derivada do logaritmo natural e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação a é , onde é uma função de . No nosso caso, . Então, precisamos encontrar a derivada de em relação a .

Passo 3

Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de é , onde e .

Passo 4

Calculando as derivadas de e :
  • então .
  • então .

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Então,

Passo 7

Simplificando mais o numerador:
Podemos fatorar -6:
Mas para manter a expressão simples, vamos deixar como está:

Passo 8

Agora, usando a regra da derivada do logaritmo:

Passo 9

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar o denominador para simplificar melhor:
Então:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada das funções: f(x) = sen(2x) / (1 + cos(2x))
Calcule a área da superfície abaixo:
S é a parte da superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 2 dentro do parabolóide z = x^2 + y^2.
Calcule a derivada das funções: f(x) = csc(5 x)
Calcule a derivada das funções: f(x) = (sen x - cos x) / cos x