Calcule a derivada das funções: f(x) = sen(2x) / (1 + cos(2x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra do quociente para derivar funções que são divisão de duas funções. Vamos precisar lembrar da regra do quociente e das derivadas de funções trigonométricas como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função , então a derivada é:
Aqui, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar e :
  • Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Então,
  • Derivada de :
    A derivada de uma constante é zero, e a derivada de é . Então,

Passo 4

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Multiplicando os termos:
  1. Somando tudo:
  1. Observando que :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 7

Podemos simplificar ainda mais usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Então,

Resposta

A derivada da função é:

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