Calcule a derivada das funções utilizando as regras de diferenciação aprendidas:
f(x) = (e^(3 x) / (1 + ln x))^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso envolve usar algumas regras de diferenciação que aprendemos, como a regra do poder, a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar lembrar como aplicar cada uma delas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Aqui, temos algo elevado ao cubo, então vamos aplicar a Regra do Poder, que nos diz que a derivada de é . No nosso caso, e .

Passo 3

Aplicando a Regra do Poder, a derivada de fica:
Agora, precisamos encontrar a derivada de .

Passo 4

Para derivar , vamos usar a Regra do Quociente, que diz que a derivada de é , onde e .

Passo 5

Vamos calcular e :

  • A derivada de é , então

  • A derivada de é , então

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Podemos fatorar o no numerador:

Passo 7

Agora, substituímos essa derivada de volta na expressão do Passo 3:

Passo 8

Podemos simplificar as expressões:
Multiplicando os termos:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

Exercícios relacionados

Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
f(x) = sen^3(x^4 + 2)
Seja
I=integral0^1 x^p ln (x) d x
b) Mostre que se p neq-1, então
integral x^p ln x d x=x^p+1p+1(ln x-1p+1)+C
Calcule a derivada das funções utilizando as regras de diferenciação aprendidas:
f(x) = sen^2(x) / (1 - cos^2(x))
Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y'' + y = 0, y(pi/3) = 2, y'(pi/3) = -4