Seja
b) Mostre que se
, então
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que mostrar que, para
,
Estamos trabalhando com integrais que envolvem funções potenciais e logarítmicas. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
A integração por partes é baseada na fórmula:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que simplifica quando derivada, e
como o restante.
Passo 3
Nesse caso, vamos escolher:
Agora, vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
E integrando
para encontrar
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a integral restante:
Integrando
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original:
Fatorando
:
Resposta
Assim, mostramos que para
,
Exercícios relacionados
Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
Seja
. Use a Regra de L
Então:
b) Mostre que para todo
suficientemente grande.
b) Mostre que
Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
Calcule a derivada das funções utilizando as regras de diferenciação aprendidas: