Calcule a derivada das funções vetoriais abaixo.
vec{r}(t) = (1, t-2, t^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de uma função vetorial específica: . Vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, mais precisamente o conceito de derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, precisamos conhecer como derivar cada componente da função vetorial individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função vetorial. Uma função vetorial é uma função que associa cada valor de a um vetor no espaço. No nosso caso, tem três componentes: a primeira é constante, a segunda é uma função linear de , e a terceira é uma função quadrática de .
Para encontrar a derivada de , vamos derivar cada componente separadamente em relação a . A derivada de uma função vetorial é simplesmente o vetor das derivadas das suas componentes.

Passo 3

Vamos derivar cada componente de :
  1. Primeira componente:
    A derivada de uma constante é sempre zero:
  2. Segunda componente:
    A derivada de em relação a é , e a derivada de uma constante é zero:
  3. Terceira componente:
    A derivada de é , e a derivada de uma constante é zero:

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas das três componentes para formar o vetor derivada :

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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