Calcule a derivada das funções vetoriais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de uma função vetorial específica:
. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, mais precisamente o conceito de derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, precisamos conhecer como derivar cada componente da função vetorial individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função vetorial. Uma função vetorial é uma função que associa cada valor de
a um vetor no espaço. No nosso caso,
tem três componentes: a primeira é constante, a segunda é uma função linear de
, e a terceira é uma função quadrática de
.
Para encontrar a derivada de
, vamos derivar cada componente separadamente em relação a
. A derivada de uma função vetorial é simplesmente o vetor das derivadas das suas componentes.
Passo 3
Vamos derivar cada componente de
:
-
Primeira componente:A derivada de uma constante é sempre zero:
-
Segunda componente:A derivada de
em relação a é , e a derivada de uma constante é zero: -
Terceira componente:A derivada de
é , e a derivada de uma constante é zero:
Passo 4
Agora, juntamos as derivadas das três componentes para formar o vetor derivada
:
Resposta
A derivada da função vetorial
é: