Calcule a derivada parcial partial fpartial x(0,0) da função
f(x, y)=cc x+x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A questão pede para calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial e entender como a função se comporta próximo desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h em relação a no ponto . Ela é dada pelo limite:
Isso significa que vamos avaliar como a função muda quando fazemos um pequeno deslocamento na direção do , mantendo .

Passo 3

Agora, vamos calcular f(h,0) = h + h cdot 0h^2 + 0^2 = h + 0 = h . Substituindo na função definida:
Então, .

Passo 4

Sabemos que no ponto , a função é definida como .

Passo 5

Substituindo esses valores na definição da derivada parcial, temos:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h - 0h = limh to 0 1 = 1
O limite de 1 quando tende a zero é simplesmente 1.

Resposta

A derivada parcial de em relação a no ponto é igual a 1.

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