Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função
é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos precisar usar noções de cálculo de derivadas parciais e os critérios de diferenciabilidade para funções de várias variáveis. Vamos passo a passo entender se essa função tem derivadas bem definidas e se se comporta de forma “suave” nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função
é contínua em
. Isso é importante porque, para ser diferenciável, a função precisa ser contínua nesse ponto. A função é definida como:
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo:
Podemos fatorar
do denominador:
À medida que
, o denominador tende a
, então:
Portanto, o limite é zero, igual ao valor definido para
. Assim, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora que garantimos a continuidade, vamos verificar se as derivadas parciais existem em
. As derivadas parciais em relação a
e
no ponto
são dadas por:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 5
Calculando
:
Então:
Agora, calculando
:
Então:
Portanto, as derivadas parciais existem e são iguais a zero no ponto
.
Passo 6
Com as derivadas parciais encontradas, agora precisamos verificar se a função
é diferenciável em
. Para isso, usamos o critério de diferenciabilidade que diz que
é diferenciável em
se:
Substituindo os valores que já sabemos:
Vamos calcular esse limite.
Passo 7
Substituindo
na expressão do limite:
Usando novamente coordenadas polares para facilitar, onde
e
:
À medida que
, o denominador tende a
, então:
Portanto, o limite é zero.
Resposta
Como o limite é zero, a função
é diferenciável no ponto
.
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da função
Calcule:
(m)
(m)
Determine e classifique os pontos críticos de
Calcule:
(k)
(k)