Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em (0,0)
f(x, y) = { (x * y^3) / (x^2 + y^4) se (x, y) ≠ (0,0) ; 0 se (x, y) = (0,0) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos precisar usar noções de cálculo de derivadas parciais e os critérios de diferenciabilidade para funções de várias variáveis. Vamos passo a passo entender se essa função tem derivadas bem definidas e se se comporta de forma “suave” nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função é contínua em . Isso é importante porque, para ser diferenciável, a função precisa ser contínua nesse ponto. A função é definida como:
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, onde e . Substituindo:
Podemos fatorar do denominador:
À medida que , o denominador tende a , então:
Portanto, o limite é zero, igual ao valor definido para . Assim, a função é contínua em .

Passo 4

Agora que garantimos a continuidade, vamos verificar se as derivadas parciais existem em . As derivadas parciais em relação a e no ponto são dadas por:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 5

Calculando :
Então:
Agora, calculando :
Então:
Portanto, as derivadas parciais existem e são iguais a zero no ponto .

Passo 6

Com as derivadas parciais encontradas, agora precisamos verificar se a função é diferenciável em . Para isso, usamos o critério de diferenciabilidade que diz que é diferenciável em se:
Substituindo os valores que já sabemos:
Vamos calcular esse limite.

Passo 7

Substituindo na expressão do limite:
Usando novamente coordenadas polares para facilitar, onde e :
À medida que , o denominador tende a , então:
Portanto, o limite é zero.

Resposta

Como o limite é zero, a função é diferenciável no ponto .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada parcial partial fpartial x(0,0) da função
f(x, y)=cc x+x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Calcule:
(m) 2 * (raiz(2) - 1)
Determine e classifique os pontos críticos de
f(x, y) = 2*x^4 + y^3/3 - x^2 - 4*y
Calcule:
(k) 39/32