integral-1^1 integral-1 / raiz1-x^2^1 / raiz1-x^2(2 y+1) d y d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla definida:
integral-1^1 integral-1raiz1 - x^2^1raiz1 - x^2 (2y + 1) , dy , dx
Esse tipo de integral é usado para calcular áreas, volumes ou outras quantidades que dependem de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de integração múltipla e como lidar com limites de integração que dependem de uma das variáveis.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna, ou seja, a integração em relação a integral (2y + 1) , dy = y^2 + y + C . A expressão a ser integrada é , e os limites de integração para são de a .
A integral de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração para [ y^2 + y ]-1raiz1 - x^2^1raiz1 - x^2 = ( ( 1raiz1 - x^2 )^2 + 1raiz1 - x^2 ) - ( ( -1raiz1 - x^2 )^2 + ( -1raiz1 - x^2 ) ) :
( 11 - x^2 + 1raiz1 - x^2 ) - ( 11 - x^2 - 1raiz1 - x^2 ) = 2 cdot 1raiz1 - x^2
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora que temos o resultado da integral interna, podemos escrever a integral externa:
integral-1^1 2 cdot 1raiz1 - x^2 , dx
Fatorando o 2 para fora da integral:
2 integral-1^1 1raiz1 - x^2 , dx

Passo 5

A integral 2 [ arcsin(x) ]-1^1 = 2 ( arcsin(1) - arcsin(-1) ) é uma integral conhecida que resulta em 2 ( pi2 - ( -pi2 ) ) = 2 cdot pi . Então, aplicando isso aos limites de integração:
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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