Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para identificar onde a função tem pontos críticos e depois determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular e .
Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Assim, os pontos críticos são:
Passo 3
Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular a matriz Hessiana da função. A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana fica:
Para cada ponto crítico, calculamos o determinante da Hessiana ():