Determine e classifique os pontos críticos de
f(x, y) = 2*x^4 + y^3/3 - x^2 - 4*y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para identificar onde a função tem pontos críticos e depois determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular e .
Calculando a derivada parcial em relação a :
E em relação a :
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Assim, os pontos críticos são:

Passo 3

Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular a matriz Hessiana da função. A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais:
Calculando as segundas derivadas:
Então, a matriz Hessiana fica:
Para cada ponto crítico, calculamos o determinante da Hessiana ( ):
  1. Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.
  1. Para :
E , então é um máximo local.
  1. Para :
Como , é um mínimo local.
  1. Para :
Ponto de sela.
  1. Para :
E , é um mínimo local.
  1. Para :
Ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
  • : Ponto de sela
  • : Máximo local
  • : Mínimo local
  • : Ponto de sela
  • : Mínimo local
  • : Ponto de sela

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