Calcule a derivada das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas de funções logarítmicas. Para isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dentro do logaritmo usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa função:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais. Lembrando que , podemos escrever:

Passo 4

Vamos agora derivar cada termo separadamente. A derivada de em relação a é , onde é uma função de .
Primeiro, para :
Segundo, para :

Passo 5

Juntando as duas derivadas, temos:

Resposta

A derivada da função é:

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Mostre que a função tem um ponto de inflexão em mas que não exista.
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