Mostre que a função
tem um ponto de inflexão em
mas que
não exista.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que pede para mostrar que a função
tem um ponto de inflexão em
, mas que
não existe. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e concavidade, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a função
. O valor absoluto faz com que a função se comporte de maneira diferente dependendo de
ser positivo ou negativo. Vamos reescrever a função de forma descontínua:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada
, que nos mostra a inclinação da função em cada ponto.
Para
:
Para
:
No ponto
, calculamos o limite da derivada a partir da direita e da esquerda:
Portanto,
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada
, que nos indica a concavidade da função.
Para
:
Para
:
Percebemos que a segunda derivada tem valores diferentes dos lados de zero. Agora, verificamos o que acontece em
.
Passo 5
Para determinar se
existe, observamos os limites da segunda derivada quando
se aproxima de 0:
Como os limites não são iguais, concluímos que
não existe.
Passo 6
Para identificar o ponto de inflexão, observamos onde a concavidade da função muda. Como
passa de negativa para positiva ao cruzar
, a concavidade muda, indicando um ponto de inflexão em
.
Resposta
A função
possui um ponto de inflexão em
, mas a segunda derivada
não existe.
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