Mostre que a função tem um ponto de inflexão em mas que não exista.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que pede para mostrar que a função tem um ponto de inflexão em , mas que não existe. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e concavidade, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a função . O valor absoluto faz com que a função se comporte de maneira diferente dependendo de ser positivo ou negativo. Vamos reescrever a função de forma descontínua:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada , que nos mostra a inclinação da função em cada ponto.
Para :
Para :
No ponto , calculamos o limite da derivada a partir da direita e da esquerda:
Portanto, .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada , que nos indica a concavidade da função.
Para :
Para :
Percebemos que a segunda derivada tem valores diferentes dos lados de zero. Agora, verificamos o que acontece em .

Passo 5

Para determinar se existe, observamos os limites da segunda derivada quando se aproxima de 0:
Como os limites não são iguais, concluímos que não existe.

Passo 6

Para identificar o ponto de inflexão, observamos onde a concavidade da função muda. Como passa de negativa para positiva ao cruzar , a concavidade muda, indicando um ponto de inflexão em .

Resposta

A função possui um ponto de inflexão em , mas a segunda derivada não existe.

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