Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função
. Isso está dentro do conteúdo de derivadas de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que ajuda quando tanto a base quanto o expoente são funções de
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação. Isso facilita o processo de diferenciação quando temos potências complicadas. Ficamos com:
Passo 3
Agora, usamos uma propriedade dos logaritmos que diz que
. Aplicando isso, nossa equação fica:
Passo 4
Vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, temos o produto de duas funções
e
. Portanto, aplicamos a regra do produto:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função
é:
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Calcule a derivada das seguintes funções:
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
.
.
Use a Regra de L
Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números
que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.