Calcule a derivada das seguintes funções: y = x^(e^x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de derivadas de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que ajuda quando tanto a base quanto o expoente são funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação. Isso facilita o processo de diferenciação quando temos potências complicadas. Ficamos com:

Passo 3

Agora, usamos uma propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso, nossa equação fica:

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados em relação a . No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, temos o produto de duas funções e . Portanto, aplicamos a regra do produto:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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