Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números
que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo
. Se sim, precisamos encontrar todos os números
que obedecem à conclusão desse teorema. Vamos precisar entender sobre continuidade e diferenciabilidade para aplicar o Teorema do Valor Médio.
Passo 2
Primeiro, o Teorema do Valor Médio (TVM) diz que se uma função é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
é igual à inclinação da secante que liga
e
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade da função
no intervalo
. A função está definida para todos os
onde o denominador não é zero. Então,
⟹
. No intervalo
, temos
que faz o denominador zero, ou seja,
não está definida.
Passo 4
Como a função
não está definida em
, ela não é contínua no intervalo
. A continuidade é uma das hipóteses essenciais do Teorema do Valor Médio. Se a função não for contínua em todo o intervalo fechado, o teorema não pode ser aplicado.
Passo 5
Já que a função não satisfaz a condição de continuidade no intervalo
, não podemos aplicar o Teorema do Valor Médio nesse caso específico. Portanto, não existe nenhum número
que satisfaça a conclusão do teorema para essa função e intervalo.
Resposta
A função
não satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo
, portanto, não existem números
que atendam à conclusão do teorema nesse caso.
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