Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo . Se sim, precisamos encontrar todos os números que obedecem à conclusão desse teorema. Vamos precisar entender sobre continuidade e diferenciabilidade para aplicar o Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Primeiro, o Teorema do Valor Médio (TVM) diz que se uma função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada é igual à inclinação da secante que liga e .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade da função no intervalo . A função está definida para todos os onde o denominador não é zero. Então, . No intervalo , temos que faz o denominador zero, ou seja, não está definida.

Passo 4

Como a função não está definida em , ela não é contínua no intervalo . A continuidade é uma das hipóteses essenciais do Teorema do Valor Médio. Se a função não for contínua em todo o intervalo fechado, o teorema não pode ser aplicado.

Passo 5

Já que a função não satisfaz a condição de continuidade no intervalo , não podemos aplicar o Teorema do Valor Médio nesse caso específico. Portanto, não existe nenhum número que satisfaça a conclusão do teorema para essa função e intervalo.

Resposta

A função não satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo , portanto, não existem números que atendam à conclusão do teorema nesse caso.

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