Calcule a derivada segunda.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a segunda derivada da função . Aqui, vamos precisar usar conceitos de derivadas, especificamente a regra do quociente e a derivada de funções exponenciais. Vamos passo a passo para entender direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Como nossa função é um quociente de duas funções, no numerador e no denominador, vamos aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é .

Passo 3

Identificando e :
  • (a derivada de é ela mesma)
  • (a derivada de é 1)

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, queremos a segunda derivada . Vamos derivar . Novamente, temos um quociente, então usamos a regra do quociente.

Passo 6

Identificando novamente e para :
  • → Para derivar , usamos a regra do produto:

Passo 7

Aplicando a regra do quociente para :

Passo 8

Simplificando o numerador:

Passo 9

O denominador é . Então, juntando tudo:

Passo 10

Podemos simplificar fatorando no numerador:

Resposta

A segunda derivada de é:

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