Calcule a dersvada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função . Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas. Vamos precisar saber como derivar funções polinomiais, exponenciais e funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, identifique que a função é um produto de duas funções: e . Para derivar , vamos usar a regra do produto, que diz que .

Passo 3

Vamos derivar . A derivada de é . Então, .

Passo 4

Agora, vamos derivar . Aqui usamos a regra da cadeia, já que temos uma função composta. A derivada de é .

Passo 5

Para encontrar , precisamos derivar . A derivada de é . Aqui, , então . Portanto, .

Passo 6

Voltando a , temos:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra do produto:

Passo 8

Podemos simplificar colocando em evidência:

Resposta

A derivada da função é:

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Em cada caso abaixo calcule o limite de , quando : .