Seja
f é contínua em 2 ? Por que?
Passo 1
Então, a gente tem uma função definida por partes:
A pergunta é: essa função é contínua no ponto
? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem verdadeiras:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
Primeira condição:
está definido?
Sim, olhando a definição da função, para ,
. Então,
.
Sim, olhando a definição da função, para
Passo 4
Segunda condição: O limite de
quando
se aproxima de 2 existe?
Para verificar isso, vamos calcular o limite pela esquerda ( ) e pela direita (
).
Para verificar isso, vamos calcular o limite pela esquerda (
- Limite pela esquerda (
):
Quandoestá próximo de 2, mas menor que 2, usamos .
Então,
- Limite pela direita (
):
Quandoestá próximo de 2, mas maior ou igual a 2, usamos .
Então,
Como os dois limites não são iguais (
), o limite geral
não existe.
Passo 5
Terceira condição: Mesmo que o limite existisse, ele teria que ser igual a
. Mas já vimos que o limite geral não existe, então essa condição não é satisfeita.
Resposta
Não, a função
não é contínua em
porque os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (
e
, respectivamente), e o limite geral não coincide com o valor da função em
.