Seja f(x) = { x + 1 se x < 2 1 se x ≥ 2 } f é contínua em 2 ? Por que?

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida por partes:
A pergunta é: essa função é contínua no ponto ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

Primeira condição: está definido?
Sim, olhando a definição da função, para , . Então, .

Passo 4

Segunda condição: O limite de quando se aproxima de 2 existe?
Para verificar isso, vamos calcular o limite pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
  • Limite pela esquerda ( ):
    Quando está próximo de 2, mas menor que 2, usamos .
    Então,
  • Limite pela direita ( ):
    Quando está próximo de 2, mas maior ou igual a 2, usamos .
    Então,
Como os dois limites não são iguais ( ), o limite geral não existe.

Passo 5

Terceira condição: Mesmo que o limite existisse, ele teria que ser igual a . Mas já vimos que o limite geral não existe, então essa condição não é satisfeita.

Resposta

Não, a função não é contínua em porque os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( e , respectivamente), e o limite geral não coincide com o valor da função em .

Exercícios relacionados