Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio r.
(b) Se o raio cresce a uma taxa constante de 3 metros por minuto, com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o seu raio for de 30 metros?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um óleo que se espalha em forma de círculo quando derramado de um navio-tanque. Sabemos que o raio desse círculo está aumentando a uma taxa constante de 3 metros por minuto. Nosso objetivo é descobrir quão rápido a área desse derramamento está crescendo quando o raio chega a 30 metros. Aqui, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas em relação ao tempo.

Passo 2

Vamos lembrar que a área A de um círculo é dada pela fórmula:
onde r é o raio do círculo.

Passo 3

Queremos saber como a área A está mudando em relação ao tempo t, ou seja, queremos encontrar . Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo. Usamos a Regra da Cadeia aqui, que nos permite relacionar a taxa de variação da área com a taxa de variação do raio.
Derivando ambos os lados da equação em relação a t:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos na equação:
  • Sabemos que metros por minuto.
  • O raio r no momento que queremos calcular é 30 metros.
Substituindo esses valores na equação:

Passo 5

Agora, é só calcular o valor:

Resposta

A taxa com que a área do derramamento está crescendo quando o raio é de 30 metros é metros quadrados por minuto.

Exercícios relacionados

Seja f(x) = { -x + 3 se x < 3, x - 3 se x ≥ 3 }
f é derivável em 3 ? Por quê?
Seja f(x) = { -x + 3 se x < 3, x - 3 se x ≥ 3 }
f é contínua em 3 ? Por quê?
Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio r.
© Se a área cresce a uma velocidade constante de 10 metros quadrados por minuto, com que velocidade o raio do derramamento está crescendo quando a área do derramamento for de 25 metros quadrados?
Calcule a derivada segunda. y = t ln(t)