Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio
.
(b) Se o raio cresce a uma taxa constante de 3 metros por minuto, com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o seu raio for de 30 metros?
(b) Se o raio cresce a uma taxa constante de 3 metros por minuto, com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando o seu raio for de 30 metros?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um óleo que se espalha em forma de círculo quando derramado de um navio-tanque. Sabemos que o raio desse círculo está aumentando a uma taxa constante de 3 metros por minuto. Nosso objetivo é descobrir quão rápido a área desse derramamento está crescendo quando o raio chega a 30 metros. Aqui, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas em relação ao tempo.
Passo 2
Vamos lembrar que a área
de um círculo é dada pela fórmula:
onde
é o raio do círculo.
Passo 3
Queremos saber como a área
está mudando em relação ao tempo
, ou seja, queremos encontrar
. Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo. Usamos a Regra da Cadeia aqui, que nos permite relacionar a taxa de variação da área com a taxa de variação do raio.
Derivando ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos na equação:
- Sabemos que
metros por minuto. - O raio
no momento que queremos calcular é 30 metros.
Substituindo esses valores na equação:
Passo 5
Agora, é só calcular o valor:
Resposta
A taxa com que a área do derramamento está crescendo quando o raio é de 30 metros é
metros quadrados por minuto.
Exercícios relacionados
Seja
é derivável em 3 ? Por quê?
Seja
é contínua em 3 ? Por quê?
Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em uma forma circular de raio
.
© Se a área cresce a uma velocidade constante de 10 metros quadrados por minuto, com que velocidade o raio do derramamento está crescendo quando a área do derramamento for de 25 metros quadrados?
© Se a área cresce a uma velocidade constante de 10 metros quadrados por minuto, com que velocidade o raio do derramamento está crescendo quando a área do derramamento for de 25 metros quadrados?
Calcule a derivada segunda.