Calcule a derivada de y = ((x^2 + 2) / (x^2 + 1))^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função . Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Se temos uma função , a derivada é dada por:
Nesse caso, e . Então, a derivada fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , a derivada de . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é usada para derivar funções que são o quociente de duas outras funções.
A regra do quociente diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:

Passo 6

Voltando à regra da cadeia para encontrar a derivada final:
Multiplicando os termos:

Resposta

A derivada de é

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