Use derivação implícita para encontrar uma equaçāo da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto (1,1). Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica de cálculo para achar a derivada quando y está embutido numa equação junto com x.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, então toda vez que der a gente vai precisar aplicar a regra da cadeia. A derivada de
é
. Para
, a gente usa a regra da cadeia: a derivada é
. E do outro lado, a derivada de
é
, que simplifica para
.
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Vamos trazer todos os termos com
para um lado da equação:
Passo 4
Vamos calcular
no ponto (1,1). Substituindo
e
na equação:
Passo 5
Com a derivada
, que representa a inclinação da reta tangente, e sabendo que a reta passa pelo ponto (1,1), vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto (1,1) é
.