Calcule as derivadas:
dd x integral-x^x cos (t^2+1) d t

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada em relação a de uma integral definida onde os limites de integração também dependem de . Isso envolve conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma fórmula importante para derivar integrais com limites variáveis. Se temos uma função definida como:
F(x) = integrala(x)^b(x) f(t) , dt
Então, a derivada de F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) em relação a dd x integral-x^x cos (t^2+1) d t é dada por:
No nosso caso, a integral é:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Aplicando a fórmula que vimos:
F'(x) = cos(b(x)^2 + 1) cdot b'(x) - cos(a(x)^2 + 1) cdot a'(x)
Substituindo os valores:
Sabemos que F'(x) = cos(x^2 + 1) cdot (1) - cos((-x)^2 + 1) cdot (-1) , então simplificando:
F'(x) = cos(x^2 + 1) + cos(x^2 + 1) = 2 cos(x^2 + 1)

Resposta

A derivada é .

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