Calcule as derivadas:
dd x integral3^sin x 11-t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada de uma integral. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente, a regra de diferenciação de integrais com limites variáveis. Para isso, vamos precisar usar a regra de Leibniz para derivadas de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dentro da integral. Temos:
11 - t^2
E os limites da integral são de 3 até sin x. Como o limite inferior é uma constante (3) e o limite superior depende de x, só precisamos nos preocupar com a derivada em relação a x do limite superior.

Passo 3

A regra de Leibniz nos diz que:
ddx integrala^b(x) f(t) dt = f(b(x)) cdot b'(x)
Aqui, a = 3, b(x) = sin x e f(t) = 11 - t^2.

Passo 4

Vamos calcular f(b(x)), ou seja, substituir t por sin x na função f(t):
f(sin x) = 11 - (sin x)^2
Sabemos que 1 - sin^2 x = cos^2 x, então:
f(sin x) = 1cos^2 x = sec^2 x

Passo 5

Agora, precisamos calcular a derivada de b(x) em relação a x:
b(x) = sin x b'(x) = cos x

Passo 6

Aplicando a regra de Leibniz, multiplicamos f(b(x)) pela derivada de b(x):
ddx integral3^sin x 11 - t^2 dt = sec^2 x cdot cos x

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
sec^2 x cdot cos x = 1cos^2 x cdot cos x = 1cos x = sec x

Resposta

A derivada é sec x.

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