Calcule as derivadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada de uma integral. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente, a regra de diferenciação de integrais com limites variáveis. Para isso, vamos precisar usar a regra de Leibniz para derivadas de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dentro da integral. Temos:
E os limites da integral são de 3 até . Como o limite inferior é uma constante (3) e o limite superior depende de , só precisamos nos preocupar com a derivada em relação a do limite superior.

Passo 3

A regra de Leibniz nos diz que:
Aqui, , e .

Passo 4

Vamos calcular , ou seja, substituir por na função :
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra de Leibniz, multiplicamos pela derivada de :

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:

Resposta

A derivada é .

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Exercício retificado